حل جميع تمارين الحياة و الوفاة و تمارين الإمتحانات | مبادئ تأمين ثانية تجارة الأزهر بنات و غيرها من الجامعات

 حل جميع تمارين الحياة و الوفاة و احتمالات الحياة و احتمالات الحياة | مبادئ تأمين ثانية تجارة الأزهر بنات و غيرها من الجامعات

* احتمال أن شخص عمره x سوف يبقى على قيد الحياة m سنة بشرط أن يتوفى في سنة ما تلي العمر x + m

^m/n q _x =  L _x+m – L_{x + m + n} / L_x

اكتب المعادلة الخاصة بالآتي

1-احتمال شخص عمره 30 سنة و سيعيش لمدة سنة

2- إحتمال شخص عمره 30 سنة وسيعيش حتى 34 سنة

3- احتمال شخص عمره 30 سنة و سيموت خلال 3 سنوات

4-احتمال شخص عمره 30 سنة و سيموت بين عمر 33 , 34

     الحـــــــــــــــــــــــل

1-احتمال شخص عمره 30 سنة و سيعيش لمدة سنة

^P_{30 =}^L_31/^L₃₀

2- إحتمال شخص عمره 30 سنة وسيعيش حتى 34 سنة

⁴P_{30     =} ^L_34/^L₃₀

3- احتمال شخص عمره 30 سنة و سيموت خلال 3 سنوات

³q_{30     =} ^L₃₀ ^{_  L}₃₃^{/   L}₃₀

4-احتمال شخص عمره 30 سنة و سيموت بين عمر 33 , 34

X = 30     , m  = 33 -30 =3        , n = 34 – 33 = 1

m المدة أو الفترة التى يعيش فيها 

n المدة أو الفترة التى سيموت فيها الفرق بين 34 و 33 = 1

^3/q_{30     =} ^L₃₃^{_  L}₃₄^{/   L}₃₀ 

       _____________________________________

6- احتمال شخص عمره 20 سنة سوف يبقى على قيد الحياة حتى تمام العمر 50 سنة

ⁿP_{x  =} ^L _{x+n /} ^L _x   يبقى على قيد الحياة أى هنا إحتمال حياة

X = 20                      ,    x+n = 50

n = 50 – 20 = 30

³⁰ P _{20   =}  ^L _{50 /} ^L ₂₀ 

    _{_______________________________________}

_{احتمال أن شخص عمر x سوف يتوفى خلال n سنة}

                         _{n q x  = L x -Lx+n / Lx}  

   _{_____________________________}

_{احتمال أن شخص عمره 25 سنة} سوف يتوفى قبل تمام عمر 45 سنة

X = 25             , n + x = 45             , n 45 – 25 = 20

²⁰ q _{25     = L 25 – L 45 / L 25}

          _{_________________________________________________}

_{احتمال شخص عمره 20 سنة سوف يتوفى خلال 30 سنة}

_{x = 20            , n = 30            ,    n + x = 50}

^{30 q} _{20   =} ^L _{20 –} ^L _{50 /} ^L ₂₀                  

 ______________________

عدد الوفيات في تمام العمر x  و تمام العمر x + 1  يمكن الحصول عليه من خلال المعادلات التالية

q _x   = d_x / L_x                 ,      d _x = L_x * q _x

     _________________________________

احتمال أن شخص يبلغ من العمر تمام السن x و سوف يتوفى بين سنx + m  و سن  x + m + n

n هي المدة أو الفترة اللى هيموت فيها

m هي المدة أو الفترة اللى هيعيش فيها

^m/n q _x =  L _x+m – L_{x + m + n} / L_x

 شخص عمره الآن 20 سنة سوف يتوفى بين العمرين 65 , 75 سنة

X  ) 20  ___45 __m __75_____n___10_____65__

                  ^{45 /10} q _{20  =} ^L _{65 –} ^L _{75 /} ^L ₂₀     

                            ______________________

تمرين احسب معدل الوفاة لمجموعة من الشباب كما هو مبين بالجدول الآتي  

  __                _________________________________

X                      Lx           d x                 q x____

                                                                                                                                          30– 31             40000       2000           0.05

31- 32             30000       600              0.02

32 – 33            10000      1200            0.12

33 – 34            20000       4200            0.21

الحل :

q _x = d _x / L _x

2000 / 40000 = 0.05

600 / 30000 = 0.02

1200 / 10000 = 0.12

4200 / 20000 = 0.21

   

   _________________________

تمرين إذا علمت أن عدد الأحياء في العمر 40 هو 50000 شخص و احتمال حياة شخص عمره 40 سنة لمدة سنة واحدة هو 0.824

أوجد : 1- عدد الأحياء في العمر 41        L ₄₁

        2- عدد الوفيات في العمر 40         d ₄₁

الحل

                L ₄₀ = 50000        , p ₄₀ = 0.824     

يتم إيجاد  q _{40  = 1 – 0.824  = 0.176}

 d _x =  L _x – L _{x +1}

d ₄₀ =  L ₄₀ – L ₄₁

^P _{x =} ^L _{x +1 /} ^L _x   

^P _{40 =} ^L _{41 /} ^L ₄₀

  _{عدد الأحياء في العمر 41 أي} ^L ₄₁

^L _{41 =} ^P _{40 *} ^L _{40     = 0.824 * 50000 = 41200}

لإيجاد d ₄₁

d _x =  L _x – L _{x +1}

d ₄₀ =  L ₄₀ – L _{41     = 50000 – 41200 = 8800}

      ___________________________________

تمرين من البيانات التالية كون جدول الحياة من السن 41 إلى السن 45

 _____________________________________________

x              41      42           43              44           45      _46__

L _{x      1000      900          792          689       589           492}

_{_______________________________________________}

الحـــــــل

  __                _________________________________

X             Lx           d x         q x_    _       Px

41          1000   __100        0.1               0.9

42          900         108        0.12             0.88

43          792   __ 103    __0.13_          _0.87_

44           689     _100____0.14513   __0.85487

45           589____97_____0.1646    __0.8354

55           492

المعادلات التي سيتم استخدامها لإيجاد d x

d _x =  L _x – L _{x +1}

المعادلات التي سيتم استخدامها لإيجاد q _x

q _{x   =} d _{x  /}  L _x

لإيجاد p _x

p _{x = 1 -} q _x

      _{______________________________________________}

_{شخص يبلغ من العمر 30 سنة المطلوب حساب الإحتمالات الآتية :}

_{1-احتمال أن يعيش حتى تمام العمر 38}

_{2- احتمال أن يبقى على قيد الحياة 12 سنة تالية}

_{3- احتمال أن يعيش لمد سنة واحد تالية}

_{4-احتمال أن يتوفى خلال العشر سنوات القادمة}

_{5-احتمال أن يتوفى خلال السنة القادمة}

_{6-احتمال أن يتوفى قبل بلوغ سن الخمسين}

_{7- احتمال أن سوف يبقى على قيد الحياة حتى سن 35 و لكن ليس لعمر 40  ( وفاة )}

_{8- احتمال أن يتوفى قبل 50 – 75 من العمر}

الحــــــــــــــــــــل

_{1-احتمال أن يعيش حتى تمام العمر 38}

ⁿ P _{x   =}   L _{x +n  /}  L _x

_{x = 30         , x + n = 38}

_{n = 38 – 30 = 8}

⁸ P _{30  =}     L _{38  /}  L ₃₀  

_{2- احتمال أن يبقى على قيد الحياة 12 سنة تالية}

ⁿ P _{x   =}   L _{x +n  /}  L _x

_{x = 30                          ,    n = 12}

 _{x + n = 30 + 12 = 42}  

¹² P _{30  =}     L _{42  /}  L ₃₀  

_{3- احتمال أن يعيش لمد سنة واحد تالية}

ⁿ P _{x   =}   L _{x +n  /}  L _x

_{x = 30                          ,    n = 1}

 _{x + n = 30 + 1 = 31}  

P _{30  =}     L _{31  /}  L ₃₀  

 

_{4-احتمال أن يتوفى خلال العشر سنوات القادمة}

ⁿ q _{x   =}   L _{x -} L _{x +n  /}  L _x

_{x = 30                          ,    n = 10}

 _{x + n = 30 + 10 = 40}  

¹⁰ q _{30  =   :} L _{30  -}  L _{40 /}   L ₃₀ 

 

_{5-احتمال أن يتوفى خلال السنة القادمة}

ⁿ q _{x   =}   L _{x -} L _{x +n    /}  L _x

_{x = 30                          ,    n = 1}

 _{x + n = 30 + 1 = 31}  

q _{30  =}     L _{30  -}  L _{31 /}   L ₃₀ 

_{6-احتمال أن يتوفى قبل بلوغ سن الخمسين}

ⁿ q _{x   =}   L _{x -} L _{x +n    /}  L _x

_{x = 30                          ,    n + x = 50}

_{n = 50 - 30 = 20}  

²⁰ q _{30  =}     L _{30  -}  L _{50 /}   L ₃₀ 

 

_{7- احتمال أن سوف يبقى على قيد الحياة حتى سن 35 و لكن ليس لعمر 40  ( وفاة)}

_{x  30 ______5 n__ ____35 _______5 _m__________40}

^m/n q _x =  L _x+m – L_{x + m + n} / L_x

_{x = 30                          ,    n = 35-30=5}

 

 _{m = 40 - 35 = 5}  

^5/5 q _{30   =}   L _{35 –} L _{40  /}  L₃₀

 

_{8- احتمال أن يتوفى قبل 50 – 75 من العمر}

X = 30     , n = 50 – 30 = 20        , m = 75 – 50 = 25

   ^{m /n} q _{x     =} ^L_x+m ^{_  L} _x+m+n ^{/   L} _x

    ^25/20 q_{30     =} ^L ₅₅ ^{_  75}  _/   ^L₃₀

      __________________________________________

تمرين  احتمال أن شخص يبلغ من العمر تمام السن 15 سنة و سوف يبقى على قيد الحياة 35 سنة و لكن لا تزيد عن 5 سنوات أخرى ( وفاة)

X = 15      , m = 35         , n = 5

^m/n q _x =  L _x+m – L_{x + m + n} / L_x

^35/5 q ₁₅ =  L ₅₀ – L ₅₅ / L₁₅

_________________________________________  

تمرين  احتمال أن شخص يبلغ من العمر تمام السن 40 سنة و سوف يتوفى بين سن 50 إلى 70 سنة

 

X = 40     ,  m = 10      ,   n = 20        

   ^{m /n} q _{x     =} ^L_x+m ^{_  L} _x+m+n ^{/   L} _x

    ^10/20 q _{40     =} ^L ₅₀ ^{_  70}  _/   ^L ₄₀