أساليب ونماذج إحصائية - شرح درس الإنحدار الخطى البسيط الفرقة الثالثة كلية تجارة الأزهر بنات ترم أول 2022 | حل تمرين من امتحان 2022

أساليب ونماذج إحصائية - شرح درس الإنحدار الخطى البسيط الفرقة الثالثة كلية تجارة الأزهر بنات ترم أول

الإنحدار الخطي البسيط :
إنحدار خطي لأنه يدرس علاقة خطية بين متغيرين فقط هما المتغير التابع Y و المتغير المستقل X وسمى بسيط لأن العلاقة بين متغيرين فقط
                                

و يتم التعبير عن هذه العلاقة بمعادلة من الدرجة الأولى
معادلة الإنحدار الخطي البسيط Yi = B0 + B1 Xi + ei
شرح مادة أساليب و نماذج إحصائية كلية تجارة جامعة الأزهر فرع القاهرة بنات فيديو

وهذه المعادلة تمثل معادلة إنحدار المتغير Y على المتغير X
Yi : يطلق عليه المتغير التابع وهو المراد تقديره والتنبؤ بقيمته بناء على قيمة للتغير المستقل X
Xi : يطلق عليه المتغير المستقل وتكون قيمته ثابتة ومعروفة مسبقا .
B0 : هو الجزء المقطوع من محور "y" الجزء الثابت
B1 : هو ميل الخط المستقيم ( معامل الإنحدار ) = Y ÷ X
ei هي الخطأ العشوائي error ( الفرق بين النقط الموجودة خارج الخط المستقيم و بين الخط المستقيم نفسه
ويطلق على كل من B0 ، B1 معالم خط الإنحدار وحيث أنهما مجهولان يتم استخدام طريقة المريعات الصغرى لإيجاد تقديرهما ، و يكون خط الإنحدار المقدركما يلي :

حيث b0 هو تقدير للمتغير B0 ، b1 هو تقدير للمتغير B1
لحل التمرين يتم إيجاد b1 أولاً من خلال المعادلة التالية :-

حيث

تمرين 1 ) من البيانات التالية أوجد :-

1-مقدرات معالم خط الإنحدار
2- أوجد معادلة خط الإنحدار المقدر ثم تنبأ بقيمة Y التقديرية عندما X = 3
n = 5 , Σ x = 26 , Σ y = 24 , Σx y=144 , = ∑ x² =150
الحـــــــــــــــــــــــــــــــل :
1-معالم خط الإنحدار المقدرة أي إيجاد b0 ، b1
يتم إيجاد أولا b1

Ŷ = 24 ÷ 5= 4.8 , X̄ = 26 ÷ 5 = 5.2
b0 = ӯ - b1 X̄ = 4.8 - (1.297) ( 5.2) = -1.9444

معادلة خط الإنحدار المقدر
Ŷ = -1.9444 + 1.297 Xقيمة Y التقديرية عندما X = 3
Ŷ = -1.9444 + (1.297) (3)=1.9499
تهدف هذه الطريقة إلى إيجاد خط الإنحدار الذي يمر بمعظم النقاط (حيث أن الخط المستقيم لا يمر بكل النقاط الممثلة لقيم المشاهدات) فنجد أن بعض النقاط تقع فوق أوتحت الخط المستقيم

بالنسبة لإشارة b1 من خلالها اعرف إن الحل صح أم خطأ كيف ذلك :
لو إشارة b1 موجبة إذن العلاقة طردية بين Y و X أى كلما زادت X زادت تبعاً لذلك Y
سيعطي تمرين بين متغيرين مثلا : الدخل و الإنفاق كلما زاد الدخل زاد الإنفاق فهذا يدل على أن الدخل هو المتغير المستقل X ، و الإنفاق هو المتغير التابع Y ، و يتضح أن هذه العلاقة طردية و بالتالي عند حل التمرين لابد و أن تكون قيمة b1 موجبة
_________________________________
لو إشارة b1 سالبة إذن العلاقة عكسية بين Y و X أى كلما زادت X نقصت تبعاً لذلك Y
سيعطي تمرين بين متغيرين مثلا : السعر و الطلب على السلعة كلما زاد السعر قل الطلب على السلعة و العكس صحيح فهذا يدل على أن السعر هو المتغير المستقل X ، و الطلب هو المتغير التابع Y ، و يتضح أن هذه العلاقة عكسية و بالتالي عند حل التمرين لابد و أن تكون قيمة b1 سالبة
_____________________________________

لو إشارة b1 = صفر توجد علاقة أيضا بين Y و X و يكون الخط المستقيم موازياً لمحور X _______________________________________

بالنسبة لإشارة b0 من خلالها اعرف الجزء المقطوع من محور Y هل أعلى المحور X أي موجب أم أسفل المحور X أي سالب أم يمر بنقطة الأصل أي يساوى صفر :
________________________________________________

شاهد شرح الدرس فيديو و شرح الخطأ المعياري

2- أوجد معادلة خط الإنحدار المقدر ثم تنبأ بقيمة Y التقديرية عندما X = 23

n = 7 , Σ x = 90 , Σ y = 81 , Σx y=1123 , = ∑ x² =1246
الحـــــــــــــــــــــــــــــــل :
1-معالم خط الإنحدار المقدرة أي إيجاد b0 ، b1
يتم إيجاد أولا b1
                                                            

ӯ = 81 ÷ 7= 11.571 , X̄ = 90 ÷ 7 = 12.857
b0 = ӯ - b1 X̄ = 11.571 - (0.918) (12.857) = - 0.232
نجد أن b1 أكبر من صفر أى أن العلاقة بين X ، Y علاقة طردية
نجد أن b0 أى أن الجزء المقطوع من محور y سالب
معادلة خط الإنحدار المقدر
Ŷ = -0.232 + 0.918 X
قيمة Y التقديرية عندما X = 23
Ŷ =- 0.232 + 0.918 (23) = 20.882

طريقة حساب الخطأ المعياري – مادة اساليب و نماذج إحصائية للفرقة الثالثة كلية تجارة الأزهر بنات الترم الأول

لكي نحسب الخطأ المعياري
1-نحسب مجموع مربعات الخطأ SSE ( summation squares error)
SSE = ∑ y² - b0 ∑ y – b1∑x y
2- نحسب متوسط مربعات الخطأ ( medium squares error) MSE المتوسط = المجموع ÷ العد
أ- إذا توافرت لديك البيانات التالية فأوجد الخطأ المعياري S.E
n = 7 , Σ x = 90 , Σ y = 81 , Σx y=1123 , = ∑ x² =1264 , ∑ y² = 1019

معادلة خط الإنحدار المقدر
Ŷ = -0.232 + 0.918 X
الحـــــــــــــــــــــــــــــل :

ب -تمرين على الخطأ المعياري S.E standard erro

شرح الدرس فيديو

أوجد الخطأ المعياري لقيمة المبيعات Y و تكاليف الإعلان X إذا توافرت لديك المعلومات التالية :-
Σ y² = 209625 , Σxy = 12250 , Σy = 1365 , n = 9
معادلة خط الإنحدار التقديرية هي :

Ŷ = - 5.54 +0.8625Xالحـــــــــــــــــــــــــــــل :

يمكنك مشاهدة الجزء التالي و الخاص بتمارين على الخطأ المعياري و حل تمرين امتحان أساليب للعام 2022

ج ) تمرين : إذا توافرت لديك المعلومات التالية فأوجد الخطأ المعياري S.E

n = 7 , Σ x = 55 , Σ y = 146 , Σx y=1213 , = ∑ x² =463 , ∑ y² = 3190
معادلة خط الإنحدار البسيط :Ŷ = 4.09 + 2.134 X
المطلوب إيجاد الخطأ المعياري S.E standard erro
الحـــــــــــــــــــــــــــــل :

د ) تمرين من امتحانات أساليب و نماذج إحصائية للفرقة الثانية كلية تجارة الأزهر بنات للعام 2021-2022 على b1 ، b0 ، الخطأ المعيارى.

- البيانات التالية تمثل العلاقة بين قيمة النفقات السنوية Y لعدد ست أنواع من الصابون
Σ x = 45 , Σ y = 62 , Σx y=508 , = ∑ x² =367 , ∑ y² = 704
*قيمة b1 تساوي :
أ) 1.144 -                 ب) 1.458 -       ج ) 1.458                         د) 1.144
*قيمة b0 تساوي :
أ) 0.601  -                 ب) 0.601                       ج ) 1.458              د) -1.144
* قيمة S.E تساوي
أ) 0.3866 -             ب) 0.3866      -      ج ) 0.3866                 د) 0.1495
* قيمة MSE تساوي
أ) 0.76           ب) 0. 071                        ج ) 0.386                 د) 0.1495